说实话我倒是很希望瘸子没死，因为这样中国就又多了一个类似燕然勒石的佳话。
先放结论:瘸子不可能打过明朝，最好的结局就是攻击到甘州或者兰县附近然后被明朝发动起来的战争机器反推回去；最坏的结局就是在嘉峪关肃州卫师老无功的时候，后院起火。
首先来说，当时的帖木儿帝国虽然威风无两，但是并非铁板一块，分裂的中亚西亚各有各的风俗各有各的打算，靠武力整合起来的老大帝国，前劲足，后劲无，类似于前秦。这是帖木儿自身的短板，没个几代人百十年的同化估计难以奏效，何况帖木儿刚平定了西北就远征东北。这种情况在其强大的时候不会显露，而一旦自己实力受损就是足以导致崩盘的隐患。反观明朝这个时候如日中天。靖难之役刚结束，反复拉锯的是北平山东，其他地方根本没受到战争波及，而被人诟病有损国力的永乐五次扫北这时候还没发生，以明初兵锋之盛，本土作战对抗远来之敌，就好比念大二的体育生遇到了前来挑战自己的大一学妹。其次，从黄河边的兰县往西，整个陕西行都司就是一个大军营，这个军营两个重点，一个肃州卫，一个甘州卫，类似于辽东的沈阳、广宁，而甘州肃州这一线，则是整个陕西行都司军事带，自东向西有庄浪、凉州、镇番、永昌、山丹、甘州、高台、肃州等等十几个卫所外加镇守班军秋季客军，而且还有陕西、宁夏、四川可以作为二线支援，能在第一时间收拢起来的可战之兵不会少于十万，而凭借肃州甘州等西北坚城玩消耗战，那么卫所等兵还是很好用的，而且还有源源不断从西安、凤翔、巩昌、洮州、岷州、宁夏开来的第一波援军，整体兵力不会少于二十万，帖木儿并没有兵力优势。再次，明朝本身对帖木儿这次行动并非一无所知，太宗实录记载的永乐让镇守西北的宋晟注意帖木儿可能有所动作，时间跟帖木儿从中亚开拔的时间几乎同时①，明朝政府给甘肃总兵下戒严警告的时候是永乐三年三月，而帖木儿东征出发时间是永乐二年十一月，中间只差四个月。并且朱棣拿的例子是突厥兵至渭河桥，也就是说朱棣知道这事的严重性，而不是如评论区所言盲目乐观。就是说等帖木儿从中亚长途跋涉穿过天山、沙漠到嘉峪关下，面对的却是已经坐等数月的明朝边军。再者说，嘉峪关外有明朝羁糜的哈密卫等关西七卫，永乐二年六月刚刚诏封哈密国主安克帖木儿为忠顺王，二十万人想悄无声息从人家地盘上过，假途伐虢这又不是咱们自己的专利，哈密、火州的人跟他们恐怕没那么多交情。而哈密到肃州还有沙州、赤金蒙古等更为靠近明朝的羁縻卫所，总之，即便是帖木儿联合了哈密等人一块来，到了嘉峪关，恐怕面对的也是以逸待劳大半个月的明军。
再强调一下明朝此时甘肃地区的防务问题。当时明朝甘肃总兵官是宋晟，从洪武十二年谪为凉州卫指挥使到洪武二十五年一直在甘肃镇守，再从建文元年到事发的永乐三年，这加起来宋晟在甘肃经营过近二十年，功绩卓著，其间洪武二十四年讨伐哈密那次，宋晟破哈密城，擒其王子别儿怯、豳王桑里失哥、知院岳山等，杀其国公阿（阙）只，俘众一千三百人。二十五年五月徇阿真州，土渠合咎等遁去，九月，罕西西番叛入寇，宋晟总兵讨平之②。也就是明朝在甘肃地区的指挥官并不是靖难中的李景隆这种绣花枕头，人家好歹是在边境线呆了一代人的指挥官。而明朝此时在甘肃的兵力，洪武五年置甘肃卫指挥使司，洪武十二年设陕西行都司，内中甘州左、右、前、后、中卫均为甘肃卫分设。洪永时期甘肃原额官军九万一千五百七十一员名，马二万九千三百一十八匹③，接近十万人，而作为甘肃镇左翼的宁夏则有官军七万一千六百九十三员名，马二万二千一百八十二匹；明初四大军镇的延绥镇官军八万一百九十六名，马四万五千九百四十匹；大同官兵一十三万五千七百七十八名，马五万一千六百五十四匹；太原官兵二万五千二百八十七名，马六千五百五十一匹；四川官兵一万四千八百二十二名，马军一千四百八十九名④。以上五处共计三十三万，按留七援三，可抽调援军十万人，以此，则甘肃本镇可用之兵十万，第一轮增援部队最少十万。注意，此时宣府大宁蓟州辽东四镇边兵精锐还没动，所调动的是甘肃临近部队。（耿炳文在洪武二十四年上奏的陕西都指挥使司军数是二十四万，但是因为我没找到陕西都司的具体兵额所以没开列）
至于永乐对于这种大阵仗会不会采取亲征，如果亲征会发动多少兵力，这个我不敢乱猜，永乐八年第一次扫北的时候永乐是凑了五十万。
地形如下图所示，南边是祁连山，北边是沙漠，肃州一代还算开阔，可甘州附近北有合黎山龙首山，南有祁连山，绕估计是绕不过去了。一路平推的话，帖木儿有重装炮，明朝也不是没有，这个时候东西差距好像还没到那个吓人的地步。 6park.com

甘肃是不是重镇的问题，波斯人火者·盖耶速丁《沙哈鲁遣使中国记》里有关于肃州、甘州的记载，“这个肃州是一座有坚固城池的极整洁的城市。该城的形状恰如用尺子和一对罗盘画出来的四方形。中心市场宽有五十正规码，整个用水喷洒，打扫得干干净净，以致举个例说，油倒在那里也能再收起来。在他们的住宅里养了很多猪，而且肉铺里羊肉和猪肉竟并排挂着售卖。”而甘州，则“从肃州到下一座大城甘州，中经九个驿馆。甘州比肃州大得多，人口更稠密……甘州城里，有一个很大的佛寺，以致原庙址的面积，连同它的组成部分达五百平方腕尺……甘州城中有十座这样大的佛寺。尚有另一座木速蛮称之为天球的建筑物”⑤。
最后，明初甘肃还没那么绿，帮理或者帮亲，怎么也轮不到瘸子，所以，瘸子二十万大军的后勤、给养、辎重、伤病军士的治疗，只能依靠千里之外的帝国本身，一旦中途发生点变故比如察合台汗国亦或者火州、哈密的不可预见性怠工甚至是有意为之，这个脆弱的补给线能坚持多久？
还有一个问题就是看似第三方的鞑靼/瓦剌会有什么举动，是策应帖木儿然后叩关宁夏到宣府一线的明军布防区，还是来去如风的往西边劫掠帖木儿的后勤？蒙古大汗的话都懒得听，这远道的驸马爷的话估计也不是多么好使。
最重要，也是最大可能的是，帖木儿刚攒到一块的老巢能保持铁板一块多久？万一后院起火，他是从甘肃赶紧回去还是打完了再回去？而如果选择后者那么本就脆弱的后勤怎么保证？
所以这个故事真要是发生了，估计会是在肃王的名义号召下，总兵官宋晟调动陕西行都司十万兵马齐集肃州卫，宁夏、延绥、西安、四川各地的第一波援军已经开拔，湖广、山西、大同、北平第二波援军正在准备，永乐皇帝带着南京亲军二十六卫以及南直、山东、浙闽兵马外加和尚、道士、蒙古雇佣军、朝鲜仪仗队，浩浩荡荡从南京北上徐州，顺着陇海线一路向西，亲征帖逆去也者！

说不定大明又多了几个叫亦力把里卫、天山卫的羁糜。。。
注释：①永乐三年二月庚寅敕甘肃总兵官左都督宋晟曰回回倒兀言撒马儿罕回回与别失八里沙迷查干王假道率兵东向彼必未敢肆志如此然边备常不可怠昔唐太宗兵力方盛而突厥径至渭桥此可鉴也宜练士马谨斥堠计粮储预为之备。——《明太宗实录》卷三十九②谷应泰《明史纪事本末》卷十③《万历明会典》卷一三〇④《万历明会典》卷一三〇、一三一⑤《沙哈鲁遣使中国记》