夺标按：这篇实际上是卢昌海老师的博客文章。借着Interstellar(《星际穿越》)大热，坛子里的“广义相对论”周期性热病方兴未艾之际，看看咱热爱得无与伦比的数学王国的大卫王Hilbert所做的与广义相对论相关的工作也算契合时局吧。文科生们阅读时候可以跳过公式，也能理解个大概齐。尤其值得借鉴的是--本文道出了大师们也是凡人，但大师之所以为大师就在于他们有智慧有能力跳出人性的窠臼。远隔七十年的光阴，咱依然应该为希尔伯特竖起大拇指。
关于希尔伯特老爷子的下篇，将由俺抽时间亲自操刀，为老爷子写个原创，送别2014年或迎接2015年很有意义。

数学王国的吹笛人---希尔伯特（上篇）见：http://site.6park.com/chan2/index.php?app=forum&act=threadview&tid=13434476



欧洲新报：

科技版主 夺标

“纵观天下&我要发言”专栏作者


希尔伯特与广义相对论场方程 

- 卢昌海 -




一. 引言




众所周知， 20 世纪最著名的物理学家是爱因斯坦 (Albert Einstein, 1879-1955)， 爱因斯坦最著名的成就是广义相对论。 关于广义相对论的提出， 爱因斯坦的晚年合作者、 波兰物理学家英菲尔德 (Leopold Infeld, 1898-1968) 在《爱因斯坦： 他的工作及对我们世界的影响》(Albert Einstein: His Work and Its Influence on Our World) 一书中曾经记述过一段有趣的对话：




……我曾对爱因斯坦说： “无论您是否提出， 我相信狭义相对论的问世都不会有什么延误， 因为时机已经成熟了。”爱因斯坦回答说： “是的， 这没错， 但广义相对论的情形不是这样， 我怀疑直到现在也未必会有人提出。”




英菲尔德并且评论说， 这一回答很好地表述了爱因斯坦在广义相对论发展史上所扮演的角色。




确实， 在 20 世纪前 25 年所发生的那场影响深远的物理学革命中， 狭义相对论、 广义相对论和量子力学这三大理论的提出可谓是各有特色： 狭义相对论是水到渠成、 瓜熟蒂落， 量子力学则是群雄并起、 共襄盛举——这两者虽很不相同， 但似乎都是 “离了谁地球照样转”。 唯有广义相对论， 几乎是爱因斯坦 “一个人的战斗”， 是没有爱因斯坦就没有广义相对论。 这一点不仅有爱因斯坦本人与英菲尔德的上述对话作脚注， 也是很多其他物理学家的共同看法。 比如著名美国物理学家奥本海默 (J. Robert Oppenheimer, 1904-1967) 在为纪念爱因斯坦逝世 10 周年而撰写， 后被收录于爱因斯坦诞辰 100 周年纪念文集《爱因斯坦——世纪文集》(Einstein: A Centenary Volume) 的题为 “论爱因斯坦” (On Albert Einstein) 的文章中， 就写过一段与英菲尔德的回忆有异曲同工之意的文字：




量子的发现必定会以这种或那种的方式出现…… 对没有任何信号能运动得比光更快的含义的深刻理解也必定会出现…… 直到今天仍未被实验很好证实的广义相对论则除他以外， 在很长很长时间内都不会有人能提出。




《爱因斯坦——世纪文集》的主编、 以编写物理教材而知名的美国麻省理工学院 (MIT) 物理学教授弗伦奇 (Anthony French, 1920-) 也在为该文集撰写的题为 “广义相对论的故事” (The Story of General Relativity) 的文章中 “英雄所见略同” 地写道：




有人曾经评论过， 在 1905 年之前…… 狭义相对论已经呼之欲出了， 如果爱因斯坦没有将之透彻化， 用不了多久其他人也会做到。 无论这是否正确， 可以确定的是： 在创立广义相对论时爱因斯坦迈出了自己独一无二的一步。 没有他的引路， 这一步也许几十年都不会有人迈出。




这样一场 “一个人的战斗” 从历史考究的角度看， 照说是不该有什么悬疑的， 其实却不然。 在广义相对论的历史考究中除了探讨爱因斯坦的 “心路历程” 外， 还有一个颇有争议性的话题， 那便是究竟谁最先提出了广义相对论场方程？ 这个争议性话题就是本文的主题， 它的主角有两位： 一位当然是爱因斯坦， 另一位则是德国数学家希尔伯特 (David Hilbert, 1862-1943)。

二. 希尔伯特对物理学的兴趣




德国数学家希尔伯特

德国数学家希尔伯特

希尔伯特是 20 世纪最著名的数学家之一， 也是 “数学圣地” 哥廷根 (Göttingen) 的灵魂人物之一， 不仅研究领域极为宽广， 研究成果也极为丰硕。 单就以他名字命名的数学名词而论， 就有不下一打， 比如希尔伯特基 (Hilbert basis)、 希尔伯特特征函数 (Hilbert's characteristic function)、 希尔伯特立方 (Hilbert cube)、 希尔伯特矩阵 (Hilbert matrix)、 希尔伯特零点（Hilbert's nullstellensatz）、希尔伯特模形式 (Hilbert modular form)、 希尔伯特函数 (Hilbert function)、 希尔伯特多项式 (Hilbert polynomial)、 希尔伯特概型 (Hilbert scheme)、 希尔伯特空间 (Hilbert space)、 希尔伯特变换 (Hilbert transform)、 希尔伯特不变积分 (Hilbert invariant integral) 等等， 以及——最后但对本文来说绝非最不重要的——爱因斯坦—希尔伯特作用量 (Einstein-Hilbert action)。

对于很多数学家来说， 名字能出现在一个数学名词中就已是难得的荣誉了， 但对希尔伯特来说， 那一打以上的数学名词加在一起， 也还只是勾勒出了他研究工作中偏于 “战术性” 的那部分， 而未能包括很多视野更宏大的 “战略性” 研究——比如对几何基础及数学基础的研究。 不仅如此， 作为数学家的希尔伯特的研究领域甚至不是数学所能涵盖的， 因为除数学外， 他对物理学也怀有浓厚的兴趣并从事过研究。




早在 1900 年发表的著名演讲 “数学问题” (Mathematische Probleme) 中， 希尔伯特就把物理学的公理化列为了问题之一 (即希尔伯特第六问题)。 这个貌似泛泛的问题并非是为了让他的演讲看起来包罗万象而随意引入的， 而确确实实是代表了希尔伯特所看重并感兴趣的一个方向。 希尔伯特后来的学术轨迹在很大程度上印证了这一点： 自 1902 年起， 他开始讲授物理学； 自 1912 年起， 他设立了物理学助手职位， 并招收指导了从事理论物理研究的学生； 1913 年， 他组织了所谓的 “哥廷根周” (Göttinger Gastwoche) 活动， 邀请普朗克 (Max Planck, 1858-1947)、 德拜 (Peter Debye， 1884-1966)、 能斯特 (Walther Nernst, 1864-1941)、 索末菲 (Arnold Sommerfeld, 1868-1951)、 洛仑兹 (Hendrik Lorentz, 1853-1928) 等众多第一流的物理学家来做报告， 介绍了包括气体运动理论及兴起中的量子论在内的诸多课题。 1914 年， 他邀请物理学家德拜开设了有关物质结构的讲座。




在希尔伯特对物理学的兴趣中， 公理化思想是一个很重要的方面， 不仅他本人深为重视， 受他影响， 一些其他数学家也对物理学的公理化展开了研究。 比如在哥廷根大学 (University of Göttingen) 就读过的希腊数学家卡拉西奥多里 (Constantin Carathéodory, 1873-1950) 在热力学的公理化方面就做了重要工作。 除公理化思想外， 极小值原理 (minimal principle) 也极受希尔伯特的器重。 极小值原理在物理学上的具体应用有着各种不同形式， 那些形式大都为希尔伯特所熟悉。 比如在讲授力学时， 他曾经使用过高斯最小约束原理 (Gauss' principle of least constraint)； 在我们将要介绍的有关引力理论的研究中， 则使用了在现代物理中被广泛运用的最小作用量原理 (principle of least action)。

在对物理学的持续关注中， 希尔伯特那颇具识人之明的眼光并没有漏掉一位比他年轻 17 岁、 正快速成长为大腕的 “后起之秀”——爱因斯坦。 早在 1912 年， 希尔伯特在研究线性积分方程时， 就曾与爱因斯坦有过信件往来： 他向爱因斯坦索要过气体运动理论及辐射理论方面的论文， 并回赠过一本自己新出版的积分方程著作。 他也曾邀请爱因斯坦在 “哥廷根周” 期间访问哥廷根， 做一次有关气体运动理论的报告， 但爱因斯坦婉拒了。 不过， 在 1915 年 6 月 28 日至 7 月 5 日之间， 爱因斯坦终于应希尔伯特的邀请对哥廷根进行了为期一周的访问， 并作了六次——每次两小时的——报告， 介绍他的广义相对论研究。




那次哥廷根之行给爱因斯坦留下了不错的印象， 他在 1915 年 7 月 15 日给索末菲的信中描述了自己的观感：




在哥廷根， 我非常愉快地看到所有的东西都在细节上得到了理解。 我对希尔伯特很是着迷， 他是一个重要人物！




在给其他同事和朋友的信件中， 爱因斯坦也毫不讳言地表示了对希尔伯特的好感， 并提到他 (在引力理论方面) 已完全说服了希尔伯特与克莱因 (Felix Klein, 1849-1925)[注一]。 希尔伯特对爱因斯坦的访问也极为重视。 那次演讲之后不久， 希尔伯特离开了哥廷根去度暑假。 对于他在那段时间里的具体行程， 史学家们所知不全， 但一般认为， 在那段时间里希尔伯特的研究重心向引力理论方向作了显著倾斜。 这一倾斜使得他与爱因斯坦之间展开了一场无形的——在某些环节上甚至是有形的——竞争， 也为史学家们留下了一个小小的谜团。




1915 年 11 月 20 日， 希尔伯特在哥廷根皇家科学院 (Royal Academy of Science in Göttingen) 作了有关引力理论的报告， 介绍了他的研究成果。 那次报告对于探讨谁最先提出了广义相对论场方程是极为重要的。 可惜的是， 也许因为听众大都是数学家， 报告的主题却是物理学， 从而 “言者谆谆， 听者藐藐” 的缘故， 后世的史学家们未能收集到有关那次报告的第一手资料——比如听众的反响或有关报告内容的细节性回忆等。 早期的史学研究所依据的乃是希尔伯特于 1916 年 3 月 31 日发表在《皇家科学与人文学会新闻》(Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften) 上的题为 “物理学基础” (Die Grundlagen der Physik) 的论文[注二]。 那篇论文明确标注了曾在 1915 年 11 月 20 日的会议上作过报告 (Vorgelegt in der Sitzung vom 20 November 1915)， 从而被视为了有关那次报告的最直接——一度甚至是唯一直接——的资料。




接下来我们就先对希尔伯特的那篇论文作一个简短介绍。




三. 希尔伯特的 “物理学基础”




希尔伯特对引力理论的研究有两个主要切入点： 一个是来自爱因斯坦的广义协变原理及用度规张量描述引力势的想法， 这是爱因斯坦自 1907 年开始思索引力问题以来逐步确立起来的想法； 另一个则是来自德国物理学家米 (Gustav Mie, 1869-1957) 的物质理论。 米 (一个字的中文译名真是别扭) 的物质理论 (简称米理论) 是建立在物质起源于电磁相互作用这一被称为电磁观或电磁世界观 (electromagnetic worldview) 的观念之上的[注三]， 与建立在电磁观之上的其它理论一样， 在昙花一现之后很快就入住了 “历史博物馆”。




借助这两个切入点， 沿袭深受其重视的物理学公理化的大思路， 希尔伯特在论文的开篇中列出了两条公理。 其中第一条被称为 “米的世界函数公理” (Mie's axiom of the world function)， 这条公理虽被冠以米的名字， 从框架上讲， 实际引入的乃是最小作用量原理， 只不过用被米称为 “世界函数” 的函数 H 来表述作用量而已[注四]。 除此之外， 该公理还规定世界函数 H 只包含度规张量及其一、 二阶导数， 以及电磁势及其一阶导数。 从而同时体现了爱因斯坦用度规张量描述引力势的想法以及米的建立在电磁观之上的物质理论 (因为物质场部分只含电磁场)。 而第二条公理则是所谓的 “广义不变性公理” (axiom of general invariance)， 它规定世界函数在任意坐标变换之下为标量。 毫无疑问， 这条公理体现的是爱因斯坦的广义协变原理， 只不过作用量是标量， 从而 “协变” (covariance) 成为了 “不变” (invariance)。 如果更细致地分析的话， 那么第一条公理中的 H 只包含度规张量及其一、 二阶导数的限定有可能也是来自爱因斯坦的， 因为是他通过对经典极限的研究， 发现了引力理论不含度规张量的二阶以上导数[注五]。




以这两条公理为基础， 希尔伯特给出了一系列数学和物理上的结果。 其中数学上的结果包括：




缩并形式——即关于里奇张量 (Ricci tensor)——的毕安基恒等式 (Bianchi identity)[注六]。

诺特定理 (Noether's theorem) 的雏形[注七]。

而对我们来说更有兴趣的物理上的结果则主要包括：




引力理论的作用量为 K + L， 其中 K 为曲率标量 (现代符号为 R)， L 为物质场的作用量， 对希尔伯特来说特指为米理论中的电磁作用量。

引力场方程为 √g(Kμν—½Kgμν) = —∂(√gL)/∂gμν， 其中 Kμν 为里奇张量 (现代符号为 Rμν)， gμν 为度规张量， g 为度规张量的行列式。

这两个物理上的结果正是后来在史学界引发争议乃至风波的核心所在。 如前所述， 包含这两个结果的论文虽是 1916 年 3 月 31 日发表的， 但由于明确标注了曾在 1915 年 11 月 20 日的会议上作过报告， 而关于那次报告， 又一度并无足够详尽的其它资料可供研究， 因此早期的史学家们便将这篇论文中的结果视为是希尔伯特不迟于 1915 年 11 月 20 日所得到的。 与之相比， 爱因斯坦最早得到正确的引力场方程是在 1915 年 11 月 25 日， 那一天他向普鲁士科学院 (Prussian Academy) 报告了正确的场方程， 并随即以 “引力场方程” (The Field Equations of Gravitation) 为题发表在了普鲁士科学院的会议报告 (Sitzungsberichte) 中。 这一时间比希尔伯特作报告的日子晚了 5 天。 因此， 一些早期的史学家认为希尔伯特先于爱因斯坦就得到了广义相对论场方程。




不过， 对于多数其他人来说， 希尔伯特的论文其实并未引起太大反响， 这也许是因为——如前所述——聆听他 1915 年 11 月 20 日报告的大都是数学家， 对物理学话题相对隔膜。 而当希尔伯特的论文正式发表时， 不仅爱因斯坦关于引力场方程的最早的短文早已发表， 就连他有关广义相对论的著名长篇综述 “广义相对论基础” (The Foundation of General Theory of Relativity) 也已问世。 另外一个可能的原因则是爱因斯坦研究广义相对论所用的数学对当时的物理学家来说虽有些另类乃至 “高深”， 但比起希尔伯特的数学来却可能还算是略显 “通俗” 的， 从而更容易被接受。




由于希尔伯特的论文未引起太大反响， 因此关于希尔伯特是否先于爱因斯坦得到广义相对论场方程一事， 很多人即便风闻过消息， 对细节也大都知之不详。 这方面的一个例子， 是印度裔美国科学史学家梅拉 (Jagdish Mehra, 1937) 所提到的。 1974 年， 梅拉在有关这一话题的著作《爱因斯坦、 希尔伯特与引力理论》(Einstein, Hilbert, and the Theory of Gravitation) 的序言中提到， 他之所以研究这一课题， 并撰写这一著作， 是因为匈牙利裔美国数学及物理学家维格纳 (Eugene Wigner, 1902-1995) 曾风闻过希尔伯特先于爱因斯坦发现广义相对论场方程的说法， 并向他寻求证实。 维格纳不仅是数学及物理学家， 而且曾在哥廷根大学做过希尔伯特的助手， 连他都不知道此事的细节， 其他人就更可想而知了。




但在转而探讨历史细节之前， 有关希尔伯特那篇论文还有其它一些东西值得评述。




在希尔伯特的论文中， 除上述结果外， 还提出了一个有趣的观点， 那就是引力场的作用量对于度规张量的 10 个分量和电磁势的 4 个分量分别作变分， 一共可以得到 14 个方程 (即 10 个引力场方程与 4 个电磁场方程)， 但由于缩并形式的毕安基恒等式共有 4 个， 因此其中有 4 个方程是不独立的。 希尔伯特对这一结果作出了自己的诠释， 他认为这意味着 4 个电磁场方程可以作为 10 个引力场方程的推论， 从而表明电磁理论可以从引力理论中得到[注八]。 而依据希尔伯特当时所认同的电磁观， 电磁理论乃是物质理论的基础， 因此电磁理论可以从引力理论中得到， 也就意味着全部的物理学都可以归并为引力理论。 希尔伯特将自己那篇有关引力理论的论文取名为 “物理学基础”， 就在一定程度上体现了这一诠释。 在论文的末尾， 他甚至充满乐观地展望道：




通过本文所确立的基本方程式， 我相信最深层的、 目前还隐藏着的原子内部过程也将得到解释。 尤其是将所有物理常数普遍约化为数学常数必定是可能的…… 物理学在原则上变成像几何那样的科学——这毫无疑问是公理化方法的最高成就。




这种乐观憧憬也是刻在其墓碑上的希尔伯特的毕生信念 “我们必须知道， 我们必将知道” (Wir müssen wissen. Wir werden wissen) 的一个生动写照。




当然， 我们现在知道 (希尔伯特本人在不久之后也意识到了)， 希尔伯特的上述看法是完全错误的， 因为缩并形式的毕安基恒等式并不意味着电磁理论可以从引力理论中得到。 从现代观点来看， 4 个缩并形式的毕安基恒等式的存在使得 10 个引力场方程中只有 6 个是独立的， 从而在求解度规张量时必须添加 4 个坐标条件， 仅此而已。 这一点实际上是与广义协变性一脉相承的， 因为后者意味着引力场方程及其解允许对 4 个时空坐标作任意变换， 从而只有在添加 4 个坐标条件后才能得到确定的解。 这一切丝毫不意味着从引力理论中可以得到电磁理论， 更谈不上能将全部的物理学归并为引力理论 (后者还进一步假定了本身也是错误的电磁观)， 及支持希尔伯特论文末尾那些天马行空般的想象。 此外， 正确的引力场方程与缩并形式的毕安基恒等式一同确保了协变形式的能量动量守恒定律， 而能量动量守恒定律——视具体的物质体系而定——蕴含了物质运动方程的全部或部分信息， 这在如今也已是众所周知的结论了， 前者在现代广义相对论教材中更是往往作为引力理论所需满足的条件， 及推导引力场方程的捷径来用。 可惜在早期研究中， 无论爱因斯坦还是希尔伯特都未能清楚地看到这些。 爱因斯坦早年走过的许多弯路 (包括一度以为广义协变性无法普遍成立)， 以及希尔伯特的上述错误都与之不无关系。 当然， 这绝不能作为后人苛责他们的理由， 在黑暗中探索的前辈们所面临的困难是我们这些事后诸葛无法直接体验的， 爱因斯坦本人对此有过精辟的评论：




在黑暗中探寻真理的那些能够体味却难以描绘的年月， 那些强烈的渴望和在信心与疑虑之间的反复徘徊， 直至突破后的明晰和领悟， 都只有亲身经历过的人才能知晓。




不过， 希尔伯特将电磁理论乃至整个物理学归并为引力理论的观点虽然不正确， 他的这一做法却可以算是先于爱因斯坦走上了试图统一引力与电磁的道路。 当然， 在这点上他虽先于爱因斯坦， 却也绝非 “第一人”， 比如笃信电磁观的米在他之前就曾做过类似努力 (参阅 [注八])。 希尔伯特本人则将这条道路的开创归功于德国数学家黎曼 (Bernhard Riemann, 1826-1866)， 表示黎曼是 “最早探索引力与光之间的理论关联” 的人 (因为在黎曼手稿中有一篇探讨引力与光的短文)， 而他自己所得到的结果则被他称为是 “对黎曼提出的问题的简单且很令人惊讶的解答”。 相比之下， 爱因斯坦是 20 世纪 20 年代开始才正式走上同样道路的， 不仅比黎曼、 米、 希尔伯特来得晚， 也晚于德国数学家外尔 (Hermann Weyl, 1885-1955)、 卡鲁查 (Theodor Kaluza, 1885-1954) 等人——当然， 他较晚进入这一 “死胡同” 对物理学来说乃是不幸中的幸运。




希尔伯特那篇论文的另一个值得评述的特点， 是率先用最小作用量原理表述了正确的引力理论。 希尔伯特以最小作用量原理为基本出发点 (即视为公理) 的做法， 曾被奥地利物理学家泡利 (Wolfgang Pauli, 1900-1958) 列为是妨碍物理学家接受他理论的两大障碍之一 (另一个障碍是采用了米理论)。 不过从现代物理学的观点来看， 希尔伯特的做法却极具前瞻性。 因为现代物理学上几乎所有的基础理论研究都是从最小作用量原理出发的[注九]。 就连爱因斯坦本人， 虽然曾在 1916 年 5 月 24 日给好友艾伦菲斯特 (Paul Ehrenfest, 1880-1933) 的信中表示不欣赏希尔伯特那 “不必要地复杂迂回” 的理论， 在同年的 10 月却开始了沿这一方向的研究， 并且在论文中改称希尔伯特的理论为 “特别清晰的形式”。 看来外尔在晚年的回忆中把希尔伯特比喻为吹着迷人长笛， 引诱一大群老鼠跟随他跳入数学长河的人是颇为贴切的——就连爱因斯坦也挡不住诱惑地跟着他跳了一回。




说到这里， 顺便回过头来评述一下本文开头所引述的爱因斯坦本人及其他物理学家的看法， 即认为广义相对论如果没有爱因斯坦， 在非常长的时间内都无法由别人提出。 我早年接触到这一看法时， 曾有过完全的认同， 因为像广义相对论那样复杂的理论， 是不可能像发现牛顿引力定律那样利用观测线索来发现的 (那样的线索只能得到一部分后牛顿近似， 而不可能反推出广义相对论来)； 而另一方面， 纯理论的探索又有太多的可能性， 米等人的探索就是例子， 甚至连爱因斯坦本人的探索， 也走过了大量歧途， 且最后的成功——如 后文 将要提到的——仍有一定的歪打正着之处。 对于这样的复杂理论， 其他人完全独立地提出一模一样的理论似乎确实是不可思议的[注十]。 不过， 后来我的看法有了显著改变， 理由正是最小作用量原理。 从最小作用量原理的角度讲， 只要有人想到了坐标变换可以突破狭义相对论的限制 (这当然也不容易， 但与创立整个广义相对论相比还是容易得多的)， 则度规张量的引入就是必然的， 而度规张量及其低阶导数构成的最简单的标量就是曲率标量， 这一数学事实也早晚会被注意到的。 如果进一步考虑到在现代物理研究中， 对最小作用量原理的运用越来越广泛， 对作用量的选取则呈现出穷举性， 即认为凡未被基本原理所禁止的项都可以进入作用量中， 则曲率标量的进入——从而广义相对论的发现——也几乎是必然的。 当然， 历史只有一次， 我的这种看法只能聊作谈资而已。




在结束对希尔伯特那篇论文的介绍之前， 还有一点我愿评述一下， 那就是一些人 (包括爱因斯坦) 在评论希尔伯特的理论时， 往往会指出该理论不如爱因斯坦的理论来得普遍， 理由是希尔伯特采信了建立在电磁观之上的米理论， 从而使得物质场被局限于电磁场， 丧失了普遍性。 与之相比， 爱因斯坦在 1915 年 11 月 25 日首次得到正确的场方程时， 在论文中明确表示： “除了要求它导出守恒定律外， 我们无需对物质场的能量张量作出其它假设”。 这一评论所涉及的基本事实当然是无可辩驳的， 希尔伯特确实对米理论表现出了显著青睐， 甚至不惜以米的名字来命名公理。 不过， 我们也应当看到， 将引力理论中的物质场限定为电磁场， 甚至特指为米理论， 更多地只是一种观念性的限制。 希尔伯特的论文从理论框架上讲其实是相当普遍的， 米理论虽然在公理中被提及， 实质地位却是可有可无的， 只要将作用量 K + L 中的物质场部分 L 由仅仅描述米理论中的电磁场推广为一般的物质场， 希尔伯特的理论框架无需任何修改就可以适用于更广泛的情形。 不仅如此， 希尔伯特的理论框架还首次给出了能量动量张量的一个全新的表达式： Tμν = (1/√g)∂(√gL)/∂gμν。 这个表达式用泡利的话说， 是 “只有在广义相对论中才变得显而易见的”。 这个表达式自动保证了能量动量张量的对称性， 从而有着独特的优越性。




当我们如今来回顾希尔伯特的理论时， 出于尽可能精确地还原历史的目的， 虽然毫无疑问地需要指出他曾经青睐过米理论， 并将之列为公理这一事实， 但却不应由此而忽视他的理论所具有的框架意义上的普适性。 在历史上， 理论的框架比创始者所设想的更为宏大的情形并不鲜见， 比如 1954 年杨振宁 (Chen Ning Yang, 1922-) 和米尔斯 (Robert Mills, 1927-1999) 在提出著名的杨—米尔斯理论 (Yang-Mills theory) 时， 就曾错误地将理论中的规范变换设定为同位旋 (isospin) 变换， 但这种历史性的错误并不能遮蔽他们理论所具有的框架意义上的普适性， 也并不妨碍我们将提出非阿贝尔规范理论 (non-Abelian gauge theory) 的荣誉归于他们。 同样， 对希尔伯特当年的论文， 我们也不应该由于他所具有的观念上的局限性或错误， 而减少应该归于他的荣誉——虽然希尔伯特的荣誉库早就 “不差钱” 了。




以上就是对希尔伯特那篇论文的已不太简短的 “简短介绍”， 现在回到我们的主题上来， 即究竟谁最先提出了广义相对论场方程？ 或者更明确地说， 希尔伯特是否先于爱因斯坦提出了广义相对论场方程？ 这可能是希尔伯特那篇遭受冷遇的论文中后世史学家们关心和讨论得最多的问题。 这个问题除了关系到谁最先提出广义相对论场方程外， 还可以引发出一些其它的可能性， 比如爱因斯坦在提出场方程的过程中， 是否有可能受到过希尔伯特的启发？ 甚至是否有可能 “借鉴” 了希尔伯特的场方程 (假如确实是后者先问世的话)？ 那样的可能性后来也确实被某些史学家提了出来， 并引发了争议乃至风波——这些我们将在 后文 中提及。




四. 早期研究简述




接下来， 我们简单提一下在希尔伯特与广义相对论场方程这一课题上的早期研究。 这一课题在早期虽不曾有过显著争论， 但人们的看法起初也并不是完全一致的， 比如洛仑兹就曾认为希尔伯特的工作只是用变分原理对爱因斯坦的工作做了重新表述而已。 不过这些歧见在 20 世纪 70 年代出现了统一的势头。 这势头的出现也许首先要归功于梅拉。 如前所述， 1974 年， 梅拉因受维格纳垂询而对这一课题进行了研究， 并发表了《爱因斯坦、 希尔伯特与引力理论》这一著作。 不过， 梅拉的研究虽缘起于维格纳对细节的垂询， 视野却比较宏观， 较少辨析历史细节， 而更多地着眼于对广义相对论的历史， 尤其是对希尔伯特所采用的思想方法及其来龙去脉进行整体阐述上。 在梅拉之后， 1978 年， 科学哲学家厄尔曼 (John Earman, 1942-) 与格里莫尔 (Clark Glymour) 也涉猎了这一领域， 发表了一篇题为 “爱因斯坦与希尔伯特： 广义相对论历史上的两个月” (Einstein and Hilbert: Two Months in the History of General Relativity) 的文章。 由于当时希尔伯特与爱因斯坦的通信已被公布， 因此厄尔曼与格里莫尔的文章包含了一些辨析性的内容。 不过， 侧重点和风格虽各有所异， 那两组研究的结论是大体相同的， 那就是基本肯定了希尔伯特先于爱因斯坦得到了广义相对论场方程。 另外， 那两组研究也肯定了希尔伯特与爱因斯坦在提出场方程的过程中虽有过交流， 基本工作仍是彼此独立的。 1982 年， 荷兰裔美国物理学家派斯 (Abraham Pais, 1918-2000) 在其颇具影响力的爱因斯坦传记《上帝是微妙的》(Subtle is the Lord) 中也做出了大体相同的判断， 即： “爱因斯坦是广义相对论物理理论的唯一提出者， 基本方程式的发现则应同时归功于他和希尔伯特”。




这些研究为早期的分歧作了 “煞尾”。




但这种 “煞尾” 只维持了不太长的时间。 1997 年， 以色列特拉维夫大学 (Tel-Aviv University) 的科里 (Leo Corry)、 德国普朗克科学史研究所 (Max Planck Institute for the History of Science) 的雷恩 (Jürgen Renn) 以及美国波士顿大学 (Boston University) 的施塔赫尔 (John Stachel) 一同在著名学术刊物《科学》(Science) 上发表了一篇短文， 标题为 “希尔伯特—爱因斯坦优先权纠纷的迟到的裁决” (Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute)。 这篇短文以一份从哥廷根档案馆得到的希尔伯特的论文校样为依据， 将这一已尘封多年、 堪称冷僻的陈年往事重新翻了开来， 并引发了极大的争议。




>> 接下篇




注释




克莱因是一位比希尔伯特更资深的哥廷根的数学大师 (不要与有相同中文译名的美国数学科普作家 Morris Kline 相混淆， 此处及后文提到克莱因所指的都是 Felix Klein)。 关于爱因斯坦认为自己说服了希尔伯特一事， 信件中并未提及细节， 如果用后来的情形来印证的话， 那么希尔伯特主要是接受了爱因斯坦的广义协变原理及用度规张量描述引力势的想法， 但对爱因斯坦理论的若干其它细节， 尤其是当时那尚不正确的场方程， 是并不认同的。

细心的读者也许注意到了， 这一论文标题与他的名著《几何基础》(Grundlagen der Geometrie) 的标题是极为相似的。

希尔伯特早年曾倾向于接受所谓的机械观， 后来才转而接受电磁观。 自 1913 年之后， 则更具体地青睐于建立在电磁观之上的米理论 (有关机械观与电磁观的简单介绍， 可参阅拙作 质量的起源 第三节)。

米的 “世界函数” 是一种拉格朗日函数 (Lagrangian)， 后者的符号通常取为 L。 拉格朗日函数在具体使用时分 “拉格朗日量” (Lagrangian) 与 “拉格朗日密度” (Lagrangian density) 两种主要情形， 前者常用于离散体系， 后者常用于场论， 希尔伯特所用的是后者。 拉格朗日密度有时也称为作用量密度 (action density)， 其对不变体积元 √gd4x 的积分则称为作用量。 不过为简洁起见， 在不会混淆的情形下， 我们将把两者统称为作用量。 另外， 依据约定的不同， √g 有时——比如在爱因斯坦的论文中——会被表示成 √—g， 将不再说明。

不过场论中通常就不含场量的二阶以上导数， 因此这一限定虽有可能来自爱因斯坦， 但即便没有爱因斯坦， 估计希尔伯特也会做出同样的限定。

毕安基恒等式据说最早乃是意大利数学家里奇 (Gregorio Ricci-Curbastro, 1853-1925) 于 1880 年发现的， 后来于 1902 年由意大利数学家毕安基 (Luigi Bianchi, 1856-1928) 重新发现， 并因此得名。 在广义相对论的早期研究中， 无论爱因斯坦还是希尔伯特都不知道这一恒等式， 从而未能直接利用它来简化场方程的推导。

诺特定理是德国数学家诺特 (Emmy Noether, 1882-1935) 于 1918 年发表的， 不过其证明据说在 1915 年就完成了。 希尔伯特在准备 12 月 20 日的报告期间， 曾经让诺特做他的助手， 因此两人在诺特定理这一课题上可能有过讨论。

有意思的是， 希尔伯特的这一结论实际上是逆转了米的观点。 米是电磁观的贯彻者， 他的理论是单纯的电磁理论， 并一度曾希望将引力也归因于电磁理论 (因此米也是统一引力与电磁的早期尝试者)， 这与希尔伯特所得到的结论恰好相反。 米后来放弃了将引力归因于电磁理论的努力， 转而尝试用四维矢量来描述引力势。

需要提到的是， 爱因斯坦、 洛仑兹等人在相对论研究中也使用过最小作用量原理， 只不过没有像希尔伯特那样将其地位放得如此之高， 而且也没能给出正确的引力理论作用量。

有读者可能会觉得希尔伯特就是一个反例。 其实不然， 因为——如正文所述——希尔伯特的研究是建立在来自爱因斯坦的许多框架性观点之上的， 从而至多只是在我们将要讨论的推导场方程这一环节上独立于爱因斯坦， 而并非在整个引力理论的研究上都独立。

五. 校样风波

希尔伯特论文校样的第 1 页


希尔伯特论文校样的第 1 页

科里等人所得到的希尔伯特论文校样与发表稿一样， 标注了曾在 1915 年 11 月 20 日的会议上作过报告。 除此之外， 它还带有一个打印日期： 1915 年 12 月 6 日， 以及希尔伯特手注的说明 “第一遍校样” (参阅右图)， 从而是一份比发表稿更早的文件。 这一文件的发现， 在一定程度上填补了研究这一课题所面临的早期文献空白。

通过对校样的研究， 科里等人发现了希尔伯特在撰写发表稿过程中所做的若干修改， 其中既包括逻辑结构的调整， 比如校样包含三条公理[注一]， 而发表稿——如 第三节 所述——只含两条； 也包括文字表述的修正， 比如在首次提到表示引力势的度规张量时， 手写加注了 “由爱因斯坦最早引入的” 这一说明。 这些修改的存在， 表明希尔伯特论文的发表稿与 1915 年 11 月 20 日的报告是有差异的， 而早期研究将两者混为一谈的做法则是有缺陷的。

问题是： 缺陷大到什么程度？




对此， 科里等人作出了一个他们称之为 “迟到的裁决” 的有一定颠覆性的结论， 那就是希尔伯特并未先于爱因斯坦提出广义相对论场方程。 具体地说， 科里等人发现在希尔伯特的论文校样中， 只包含了我们在 第三节 中提到的两条物理结果中的第一条——即引力理论的作用量为 K + L， 以及引力场方程可以通过对度规张量做变分而得到这一泛泛说明， 却没有包含第二条——即引力场方程的具体形式。

以这一发现为基础， 外加对另一处细节的分析 (参阅 [注八])， 科里等人还提出了一个更具颠覆性的观点， 那就是在希尔伯特提出广义相对论场方程的过程中， 有可能 “借鉴” 过爱因斯坦的场方程。 这样， 他们就不仅逆转了希尔伯特与爱因斯坦得到广义相对论场方程的时间顺序， 还冲击了早期研究中一致认定的希尔伯特与爱因斯坦彼此独立地得到广义相对论场方程的结论， 从而在史学界引起了极大的争议。

颠覆性结论引发极大的争议乃是常见现象， 本不足为奇。 不过， 这场有关希尔伯特与广义相对论场方程的争议却有一个奇特之处， 那就是它的切入点出现在了一个几乎没人猜得到的地方。 用旁观者的眼光来看， 科里等人的研究中有一样东西堪称铁证， 那就是希尔伯特的论文校样， 这也是他们整篇文章的核心证据。 但出人意料的是， 争议的切入点居然就出现在了这核心证据上， 并演变成了一场风波！


科里等人的短文发表后的第二年 (1998 年)， 加州理工学院 (California Institute of Technology) 的爱因斯坦文献专家索尔 (Tilman Sauer) 发表了一篇题为 “发现的相对性： 希尔伯特关于物理学基础的第一份笔记” (The Relativity of Discovery: Hilbert's First Note on the Foundations of Physics) 的文章。 在这篇文章中， 他披露了一个令人吃惊的事实， 那就是希尔伯特论文校样的第 7、 8 两页 (那是同一页的正反面) 的上方有一部分是缺失的 (参阅左图)， 而对引力场的作用量或场方程的叙述——如果有的话——恰好位于第 8 页的缺失部分中！



这情节简直赶上武侠小说了——在古龙小说《陆小凤传奇之金鹏王朝》中陆小凤怀疑有人冒充大金鹏王， 判断的方法是查验脚趾， 因为真的大金鹏王是六趾。 但当陆小凤揭开了盖在大金鹏王腿上的毯子时， 发现他的双腿是锯掉的！

索尔虽披露了这一缺失， 却未作发挥， 只简单地假定为是希尔伯特本人为了 “偷懒” 将之裁贴到了其它地方以节省时间[注二]。 但几年之后， 这一缺失却不仅引发争议， 而且演变成了风波。 2003 年， 美国内华达大学 (University of Nevada) 的物理学教授温特伯格 (Friedwardt Winterberg) 发表了一篇题为 “论 ‘希尔伯特—爱因斯坦优先权纠纷的迟到的裁决’” 的文章， 对科里等人的短文进行了严厉驳斥， 并对希尔伯特论文校样中的缺失作了阴谋论解读， 认为缺失乃是近期发生的蓄意行为， 目的是抹杀希尔伯特对广义相对论的贡献。 这一阴谋论解读得到了另外几位作者的响应， 比如美国作者毕尔克尼斯 (Christopher Bjerknes) 和德国作者沃恩茨 (Daniela Wuensch) 在分别于 2003 年和 2005 年出版的书中， 对这一 “阴谋” 进行了详细剖析， 甚至像福尔摩斯还原犯罪过程一样， “还原” 了 “阴谋” 的各个环节， 其中包括采用何种工具， 以何种方式裁去文字， 其间犯过何种错误， 采取过何种补救措施， 等等。 他们甚至详细 “还原” 了 “作案者” 的心理活动。

这些阴谋论解读因细节丰富到了可笑的地步， 就不在这里重复了。 它们的致命伤不仅在于缺乏与细节相匹配的证据， 更在于无法解释 “作案动机”， 即为何有人甘冒身败名裂的风险来对希尔伯特的论文校样做手脚？ 阴谋论者认为那是为了能提出如科里等人所提出的那种颠覆性的观点。 但事实上， 且不说在这一冷僻领域中提出颠覆性观点的收益与身败名裂的巨大风险根本就不成比例， 即便真想提出颠覆性观点， 也完全没必要做那样的手脚。 因为在对缺失部分的篇幅及上下文的内容进行分析之后， 史学界已提出了极强的分析理由， 表明缺失部分只包含引力理论的作用量， 而不包含引力场方程。 这首先是因为引入后者及相关说明所需的额外篇幅绝非缺失部分所能容纳 (发表稿中相应内容的篇幅也印证了这一点)； 其次还因为在后文提到缺失部分中的公式时， 表示由它对度规张量做变分可得到引力场方程， 这说明缺失部分包含的是作用量， 而不是场方程 (发表稿同样印证了这一点， 引力场方程是在作出上述表示之后才给出的)。 这一方面说明科里等人的核心证据虽一度成为争议的切入点， 由铁证蜕变成了分析证据， 实质内容却并无问题； 另一方面也说明提出如科里等人所提出的那种颠覆性观点， 根本就无需对校样作手脚[注三]。 此外， 还有一点对阴谋论者很不利， 那就是除无需对校样作手脚的科里等人外， 这一领域并无其他人提出过类似的颠覆性观点 (因此阴谋论的影射对象是极为鲜明的， 那就是科里等人)， 从而根本找不到能从 “阴谋” 中获益的 “作案者”， 阴谋论的荒谬也就更不言而喻了。

另外有一点需要指出的是， 阴谋论者在驳斥科里等人时， 自己也提出了一个颠覆性观点， 那就是明示或暗示爱因斯坦在提出广义相对论场方程的过程中， 有可能 “借鉴” 过希尔伯特的场方程[注四]。 这一观点与科里等人的恰好相反， 却同样冲击了早期研究中一致认定的希尔伯特与爱因斯坦彼此独立地得到广义相对论场方程的结论。 这一对 “互为镜像” 的颠覆性观点， 我们将在后文中加以讨论。

阴谋论提出后， 被作为影射对象的科里等人在普朗克科学史研究所 (即作者之一的雷恩所在的研究所) 发表了一份针对温特伯格的措辞激烈的答复， 不仅指责温特伯格的文字风格偏执 (paranoid)， 而且将其观点与昔日 纳粹德国的反相对论运动 联系了起来， 指控其试图重回纳粹时代反 “犹太物理学” 的老路。 至此， 争议演变成了风波。 科里等人的这份答复因涉嫌人身攻击而遭到温特伯格的抗议， 后来被普朗克科学史研究所 “和谐” 掉了， 取而代之的是一份以研究所名义发表的对双方争议保持中立的声明。

由希尔伯特的论文校样引发的风波就介绍到这里， 其基本结论是， 希尔伯特的论文校样只包含引力理论的作用量， 而不包含引力场方程。

六. 信件辨析

由科里等人的短文引发的争议中， 虽出现了荒谬的阴谋论和令人遗憾的人身攻击， 却也涉及了一些细节性的辨析， 且引起了不少认真讨论。 接下来我们就对细节性辨析作一些介绍。

细节性辨析主要集中在对几封信件的解读上。 其中第一封是 1915 年 11 月 18 日爱因斯坦给希尔伯特的信。 这封信的背景是： 希尔伯特于 11 月 13 日写信邀请爱因斯坦出席自己的报告， 并表示该报告将对爱因斯坦提出的 “大问题” (great problem) 给出一个与爱因斯坦完全不同的公理化解答； 爱因斯坦于 11 月 15 日回信以胃痛和疲惫为由婉拒； 11 月 16 日， 希尔伯特给爱因斯坦发了一张如今已遗失了的明信片。 爱因斯坦 11 月 18 日的信就是对该明信片的回复， 其中包含这样的文字：

您给出的体系——就我所见——与我最近几个星期发现并向科学院报告过的完全一致。 困难之处并不在于找到 gμν 所满足的广义协变方程， 因为这可以在黎曼张量的帮助下很容易地得到， 而是在于证明那些方程是一种推广， 即对牛顿定律的简单而自然的推广。

针对希尔伯特表示自己的解答与爱因斯坦完全不同这一点， 爱因斯坦这段文字有明显的宣示优先权并强调 (自己的) 物理重于 (希尔伯特的) 数学的意味。 这段文字很早就引起过关注， 但自科里等人用希尔伯特的论文校样推翻了原先基于发表稿作出的 “希尔伯特先于爱因斯坦提出广义相对论场方程” 的结论之后， 这段文字有了更重要的地位， 被一些人视为了希尔伯特曾在 11 月 16 日的明信片中给出过广义相对论场方程的间接证据 (因为否则的话， 爱因斯坦所说的 “完全一致” 就失去了比较对象)。 由于明信片比论文校样更早， 假如它包含了场方程， 那么希尔伯特就依然是先于爱因斯坦得到了广义相对论场方程。 比如温特伯格就表示爱因斯坦的这段文字 “证明了希尔伯特先于爱因斯坦得到了正确的场方程”； 沃恩茨则以这段文字为由， 用肯定的语气列举了希尔伯特明信片的内容， 其中包括场方程。

但细究起来， 事情却又不那么简单， 因为爱因斯坦写下这段文字时他自己尚未得到正确的场方程。 他当时以为正确的乃是一星期前 (11 月 11 日) 发表的题为 “关于广义相对论 (补遗)” [On the General Theory of Relativity (Addendum)] 的短文中提出的错误方程： Rμν = —κTμν， 它与正确方程之间相差一个正比于曲率标量的项： —½gμνR[注五]。 这就产生了一个问题： 既然爱因斯坦尚未得到正确的场方程， 那么他所说的 “完全一致” 究竟是什么意思呢？ 对此， 有人提出， 是因为爱因斯坦当时正处于——用他自己的话说——“一生中最激动、 最紧张的时期之一”， 没时间仔细推敲希尔伯特的场方程， 从而误以为它与自己的 (错误的) 场方程相一致。 至于这种 “误以为” 的根源， 有人认为是单纯的粗心大意， 即漏看了希尔伯特的 (正确的) 场方程所多出来